- Риманова оптимизация тензорных произведений грассмановых многообразий: приложения к обобщенным факторам Рэлея (arXiv)
Автор : О. Куртеф, Г. Дирр, Ю. Хельмке
Аннотация: Вводится обобщенный фактор Рэлея на тензорном произведении грассманианов, позволяющий унифицировать подход к широко известным задачам оптимизации из различных областей числовой линейной алгебры, таким как наилучшие низкоранговые аппроксимации тензоров (сжатие данных), геометрические меры запутанность (квантовые вычисления) и кластеризация подпространства (обработка изображений). Мы кратко обсудим геометрию множества ограничений, вычислим риманов градиент обобщенного фактора Рэлея, охарактеризуем его критические точки и докажем, что они в общем случае невырождены. Более того, мы выводим явное необходимое условие невырожденности гессиана. Наконец, мы представляем два внутренних метода оптимизации обобщенного коэффициента Рэлея — метод Ньютона и сопряженный градиент — и сравниваем наши алгоритмы, адаптированные для вышеупомянутых приложений, с признанными из литературы.
2. Границы фактора Рэлея и спектра самосопряженных операторов (arXiv)
Автор : Пэйчжэнь Чжу, Мерико Э. Арджентати, Андрей Владимирович Князев.
Аннотация: В данной статье абсолютное изменение фактора Рэлея (RQ) ограничено с точки зрения нормы невязки и изменения вектора. Если x — собственный вектор самосопряженного ограниченного оператора A в гильбертовом пространстве, то RQ вектора x, обозначаемого ρ(x), является точным собственным значением оператора A. В этом случае абсолютная замена RQ |ρ(x)−ρ(y)| становится абсолютной ошибкой собственного значения ρ(x) оператора A, аппроксимированного RQ ρ(y) на заданном векторе y. Существует три традиционных вида границ ошибки собственного значения: априорные границы через угол между векторами x и y; апостериорная граница через норму невязки Ay−ρ(y)y вектора y; границы смешанного типа, использующие как угол, так и норму невязки. Мы предлагаем объединяющий подход для доказательства известных границ спектра, анализа их точности и получения новых, более точных границ. Подход к доказательству основан на новых тождествах векторных возмущений RQ.
